การให้เหตุผล
1.ระบบทางคณิตศาสตร์
อนิยาม คือ ข้อความที่ไม่ต้องให้ความหมาย หรือ คำจำกัดความ
บทนิยาม คือ ข้อความที่ให้ความหมาย หรือคำจำกัดความไว้อย่างชัดเจน เพื่อทุกคนทราบความหมายที่ถูกต้องเข้าใจตรงกัน
สัจพจน์ คือ ข้อความที่ทุกคนยอมรับว่าข้อความนั้นเป็นจริงโดยไม่ต้องพิสูจน์
ทฤษฎีบท คือ ข้อความที่ยอมรับว่าเป็นจริง ได้มีการพิสูจน์โดยอาศัย อนิยาม บทนิยาม สัจพจน์ และวิธีทางอย่างมีเหตุมีผล
2. การให้เหตุผล
มนุษย์เราให้เหตุผลสนับสนุนความเชื่อและเพื่อหาความจริงหรือข้ออสรุปในเรื่องที่ต้องการศึกษา
2.1 การให้เหตุผลแบบอุปนัย ( Inductive Reasoning )
เป็นการให้เหตุผลโดยยึดความจริงส่วนย่อยที่พบเห็นไปสู่ความจริงส่วนใหญ่
ตัวอย่าง มนุษย์สังเกตพบว่า : ทุก ๆวันดวงอาทิตย์ขึ้นทางทิศตอ. และตกทางทิศตต.
จึงสรุปว่า : ดวงอาทิตย์ขึ้นทางทิศตอ. และตกทางทิศตต.เสมอ
การให้เหตุผลแบบอุปนัย หมายถึง วิธีการสรุปในการค้นคว้าความจริงจากการสังเกตหรือทดลองหลายครั้งจากกรณีย่อยๆแล้วนำมาสรุปเป็นความรู้แบบทั่วไป
อย่างไรก็ดีการหาข้อสรุปหรือความจริงโดยใช้วิธีการให้เหตุผลแบบอุปนัยนั้น ไม่จำเป็นต้องถูกต้องทุกครั้ง เนื่องจากเป็นการสรุปผลจากหลักฐานข้อเท็จจริงที่มีอยู่
ดังนั้น ข้อสรุปจะเชื่อถือได้มากหรือน้อยเพียงใดนั้นขึ้นอยู่กับลักษณะของข้อมูล หลักฐานและข้อเท็จจริงที่นำมาอ้าง
1. จำนวนข้อมูล หลักฐานหรือข้อเท็จจริงที่นำมาเป็นข้อสังเกตหรือข้ออ้างอิงมีมากพอกับการสรุปความหรือไม่
2. ข้อมูลหลักฐาน หรือข้อเท็จจริงเป็นตัวแทนที่ดีในการให้ข้อสรุปหรือไม่
3. ข้อสรุปที่ต้องการมีความซับซ้อนมากน้อยเพียงใด
2.2
การให้เหตุผลแบบนิรนัย (Deductive Reasoning )
เป็นการนำความรู้พื้นฐาน ความเชื่อ ข้อตกลง กฏ บทนิยามซึ่งเป็นสิ่งที่รู้มาก่อนและยอมรับเป็นจริงเพื่อหาเหตุนำไปสู่ข้อสรุป
ตัวอย่าง เหตุ 1) เด็กทุกคนชอบเล่นฟุตบอล
2) ฟุตบอลเป็นกีฬา
ผล เด็กทุกคนชอบเล่นกีฬา
สรุปว่า การให้เหตุผลแบบนิรนัยนั้น ผลหรือข้อสรุปถูกต้อง เมื่อ
1. ยอมรับเหตุเป็นจริงทุกข้อ
2. การสรุปผลสมเหตุสมผล
ความสมเหตุสมผล
มี 2 ส่วน คือ
1. เหตุ สิ่งที่เรากำหนด / สมมติฐาน
2. ผล ผลสรุป / ข้อสรุป
*ผลสรุป จะถูกต้อง เมื่อมีความสมเหตุสมผล
การตรวจสอบการสมเหตุสมผลการตรวจสอบว่าข้อสรุปสมเหตุสมผลหรือไม่นั้นสามารถตรวจสอบได้หลายวิธี ขึ้นอยู่กับลักษณะของข้อความที่กำหนดมาให้ วิธีหนึ่งคือ การวาดแผนภาพตามสมมติฐานที่เป็นไปได้ แล้วจึงพิจารญาว่าแผนภาพแต่ละกรณีแสดงผลสรุปตาม/STRONG> จากแผนภาพ สอดคล้องกับผลสรุป
ดังนั้น การให้เหตุผลนี้ สมเหตุสมผล
ตัวอย่างเหตุ 1. คนจีนบางคนนับถือศาสนาพุทธ
2. เหมยเป็นคนจีน
ผล เหมยไม่นับถือศาสนาพุทธ
ตอบ จากแผนภาพพบว่า กรณี 2 ไม่สอดคล้องผลสรุป ดังนั้นไม่สมเหตุสมผล
หมายเหตุ ในการแสดงผลสรุปไม่สมเหตุสมผล เราไม่จำเป็นต้องเขียนแผนภาพทั้งหมดทุกกรณี โดยอาจจะยกเฉพาะกรณีที่ แผนภาพไม่สอดคล้องกับผลสรุปเพียงกรณีเดียวก็พอ
ตัวอย่าง เหตุ 1) เรือทุกลำลอยน้ำ
2) ถังน้ำพลาสติกลอยน้ำได้
ผล ถังน้ำพลาสติกเป็นเรือ >> สังเกตว่า แม้ว่าข้ออ้างหรือเหตุทั้งสองข้อจะเป็นจริง แต่การที่เราทราบ ว่า เรือทุกลำลอยน้ำได้ก็ไม่ได้หมายความว่าสิ่งอื่นๆ ที่ลอยน้ำได้จะต้องเป็นเรือเสมอไป ข้อสรุปในตัวอย่างข้างต้นจึงเป็นการสรุปที่ไม่สมเหตุสมผล
ตอบ สมเหตุมผล
ตัวอย่าง เหตุ 1. แมวทุกตัวเป็นปลา
2. ต้นไม้ทุกต้นเป็นแมว
ผล ต้นไม้ทุกต้นเป็นปลา >> สังเกตว่า ผลสรุปที่กล่าวมาว่า ต้นไม้ทุกต้นเป็นปลา นั้นสมเหตุสมผล แต่ไม่เป็นความจริงทางโลก
หมายเหตุ เมื่อยอมรับเหตุเป็นจริงตามสมมติฐานที่ตั้งไว้แล้ว ต่อให้ผลสรุปขัดแย้งกับความเป็นจริงทางโลก แต่หากเป็นจริงตามการให้เหตุผลนั้นแล้ว ก็ถือว่า การให้เหตุผลนั้นสมเหตุสมผล
สรุป การให้เหตุผลแบบอุปนัย– โดยอ้างจากตัวอย่างหรือประสบการณ์ย่อยหลายๆตัวอย่าง แล้วสรุปเป็นความรู้ทั่วไป
– จากเหตุกาณ์เฉพาะที่เกิดขึ้นซ้ำๆหลายๆครั้ง
– โดนใช้การคาดคะเน
– จากประสบการณ์ของผู้สรุป
– สิ่งที่กำหนดให้ จะสนับสนุน ผลสรุป แต่จะไม่สามารถยืนยันข้อสรุปได้
– ย่อย >> ใหญ่ คือ การนำข้อค้นพบจากตัวอย่างหลาย ๆ ตัวอย่างมาสรุปเป็นความรู้ทั่วไป กฎ สูตร หรือหลักการ
สรุป การให้เหตุผลแบบนิรนัย
– โดยอ้างเหตุผลจากความรู้พื้นฐานชุดหนึ่งที่ยอมรับกันมาก่อน
– เมื่อเหตุ (ข้อสมมติ) เป็นจริง แล้วทำให้เกิดผลสรุป
– สิ่งที่กำหนดให้ (เหตุ) สามารถยืนยัน ผลสรุปได้
– ถ้าเหตุนั้นทำให้เกิดผลสรุปได้ = การให้เหตุผลดังกล่าวสมเหตุสมผล
– ถ้าเหตุทำให้เกิดผลสรุปไม่ได้ = การให้เหตุผลดังกล่าวไม่สมเหตุสมผล
– ใหญ่ >> ย่อย คือการนำความรู้ทั่วไป กฎ สูตร หรือหลักการมาใช้ในการหาคำตอบหรืออธิบายหรือให้เหตุผลกับกรณีเฉพาะอันหนึ่ง
อ่านว่า" สิบสอง หาร สอง"
(ซิกมา) 
= C + C + C + … (n ตัว)
R
= 
{ 1, 2, 3, 4 }
ลำดับจำกัด เป็นลำดับที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก n พจน์แรก
, … เป็นลำดับอนันต์
{ 1, 2, 3, …, 20 } เป็นลำดับจำกัด
เป็นลำดับอนันต์
