วงกลม

    

            

                  วงกลม (Circle) เมื่อให้จุด ๆ หนึ่งเคลื่อนที่ไปรอบ ๆ จุดคงที่จุดหนึ่ง

โดยจุดที่เคลื่อนที่และจุดคงที่นั้นมีระยะห่างเท่ากันเสมอ เส้นที่ได้จะเป็นเส้นโค้งเรียกว่าวงกลมหรือเส้นรอบวง

ถ้าลากเส้นตรงจากจุดใดจุดหนึ่งบนวงกลมให้ผ่านจุดศูนย์กลางไปพบวงกลมนั้นอีกข้างหนึ่ง

เราเรียกเส้นนั้นว่าเส้นผ่านศูนย์กลางดังนั้นเส้นผ่านศูนย์กลางมีความยาวเป็นสองเท่าของรัศมีของวงกลม

           1.)  จุด O เป็นจุดคงที่ เรียกจุด O ว่าจุดศูนย์กลางของวง
กลม

          2.)  จุด C , D , E เป็นจุดบนเส้นรอบวงของวงกลม เรียน
เส้นตรง OE , OD และ OC รัศมีของวงกลม

         3.)   จุด C และจุด D เป็นจุดที่อยู่บนวงกลม และเส้นตรง
CD ผ่านจุดศูนย์กลาง O เรียกเส้นตรง CD ว่า เส้น
ผ่านศูนย์กลาง

        4).   คอร์ด คือ เส้นตรงที่ลากจากเส้นรอบวงด้านหนึ่งไป
ยังเส้นรอบวงอีกด้านหนึ่ง คือ AB และคอร์ดที่ยาวที่
สุดคือเส้นผ่านศูนย์กลางและจะแบ่งวงกลมออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กัน

         5.)   เซกเมนต์ คือ พื้นที่ที่อยู่ระหว่างเส้นรอบรูปกับคอร์ด

6.)   ส่วนของเส้นตรง OX เรียกว่า ระยะที่คอร์ดห่าง
จากจุด ศูนย์ กลางของวงกลม

     

                    1 รัศมีวงกลมเดียวกันย่อมเท่ากัน

                     2 เส้นผ่าศูนย์กลางยาวเป็นสองเท่าของรัศมี

                    3 คอร์ดยาวที่สุดของวงกลม คือ เส้นผ่าศูนย์กลาง

                    4 วงกลม 2 วงสัมผัสกันได้ที่จุดเดียวกัน

                    5 วงกลม 2 วงตัดกันได้เพียง 2 จุดเท่านั้น คือจุด A และจุด B

                    6 เส้นผ่าศูนย์กลางของวงกลม จะแบ่งวงกลมออกเป็น 2 ส่วนเท่า ๆ กัน แต่ละส่วน
                       เรียกว่า " ครึ่งวงกลม"

                              7 วงกลมขนาดเท่ากัน 3 วงตัดกัน โดยให้เส้นรอบวงกลมแต่ละวงผ่านจุดศูนย์กลาง
        ของอีก 2 วง และ เมื่อต่อเชื่อมจุดตัดนั้นแล้ว จะเกิดรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า นั่น
        คือสามเหลี่ยม ABC

                           8 วงกลม 2 วงมีจุดศูนย์กลางร่วมกัน แต่ความยาวของรัศมีไม่เท่ากัน จะเกิดวง
        แหวนขึ้น

                          9 มุมในครึ่งวงกลมมีขนาดเท่ากับ 90 องศา หรือหนึ่งมุมฉาก นั่นคือมุม ACB = 90°

                          10 มุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลมจะมีขนาดเป็นสองเท่าของขนาดของมุมในส่วน
          โค้งของวงกลมซึ่งรองรับด้วยส่วนโค้งเดียวกัน นั่นคือ มุม AOC เป็นสองเท่า
          ของมุม ACB

                          11 ในวงกลมที่เท่ากันหรือวงกลมเดียวกัน มุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลมมีขนาด
          เท่ากัน เมื่อส่วนโค้งที่รองรับมุมที่จุดศูนย์กลางยาวเท่ากัน

- วงกลม o = วงกลม E นั่นคือ
เหตุ : มุม AOB = มุม CED
ผล : ส่วนโค้งAB = ส่วนโค้ง CD

- วงกลม O = วงกลม E นั่นคือ
เหตุ : ส่วนโค้ง AB = ส่วนโค้ง CD
ผล : มุม AOB = มุม CED
12 ในวงกลมที่เท่ากันหรือวงกลมเดียวกัน มุมที่ส่วนโค้งของวงกลมจะมีขนาดเท่า
กัน เมื่อ ส่วนโค้ง ที่รองรับยาวเท่ากัน

- วงกลม X = วงกลม Y นั่นคือ
เหตุ : มุม ACB = มุม MON
ผล : ส่วนโค้งAB = ส่วนโค้ง MN
- วงกลม X = วงกลม Y นั่นคือ
เหตุ : ส่วนโค้ง AB = ส่วนโค้ง MN
ผล : มุม ACB = มุม MON

                                    13 ในวงกลมที่เท่ากันหรือวงกลมเดียวกัน คอร์ดสองเส้นจะยาวเท่ากัน เมื่อ ตัด
                         ส่วนโค้งออกได้ยาวเท่ากัน

- วงกลม M= วงกลม N นั่นคือ
เหตุ : คอร์ด AB = คอร์ด CD
ผล : ส่วนโค้งAB = ส่วนโค้ง CD

- วงกลม E = วงกลม F นั่นคือ
เหตุ : ส่วนโค้ง XY = ส่วนโค้ง OS
ผล : คอร์ด XY = คอร์ด OS 

                                     14 คอร์ดสองเส้นที่อยู่ในวงกลมวงหนึ่ง จะยาวเท่ากัน เมื่อ ระยะทางจากจุด
                          ศูนย์กลางถึงคอร์ดสองเส้นนั้นยาวเท่ากัน 

                                 15 ส่วนของเส้นตรงที่ผ่านจุดศูนย์กลาง และตัดกับคอร์ดที่ไม่ใช่เส้นผ่าศูนย์
                      กลาง จะตั้งฉากกับคอร์ดนั้น ก็ต่อเมื่อ ส่วนของเส้นตรงนั้นแบ่งตนึ่งคอร์ด

- วงกลม O
เหตุ : OC ตั้งฉากกับ AB ที่จุด C
ผล : AC = CB

- วงกลม O
เหตุ : AC = CB
ผล : OC ตั้งฉากกับ = AB

                                   16 เส้นตรงที่แบ่งครึ่งและตั้งฉากกับคอร์ดของวงกลม จะผ่านจุดศูนย์กลาง
                       ของวงกลม

- วงกลม O
เหตุ : เส้นตรง MN แบ่งครึ่งและตั้งฉากกับ AB ที่จุด M
ผล : เส้นตรง MN ผ่านจุดศูนย์กลาง O

                                 17 มีวงกลมวงเดียวเท่านั้นที่ผ่านจุดสามจุดซึ่งไม่อยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกัน

เหตุ : A , B และ C เป็นจุดสามจุดที่ไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเดียว
กัน
ผล : จะมีวงกลมวงเดียวที่ผ่านจุด A , B และ C

                                   18 มุมในส่วนโค้งของวงกลมที่รองรับด้วยเส้นโค้งเดียวกัน จะมีขนาดเท่ากัน

เหตุ : มุม AEC , มุม ADC และ มุม ABC เป็นมุมในส่วน
ของวงกลม ที่รองรับด้วยส่วนโค้ง AC เดียวกัน
ผล : มุม AEC= มุม ADC= มุม ABC

                                    13 ในวงกลมที่เท่ากันหรือวงกลมเดียวกัน คอร์ดสองเส้นจะยาวเท่ากัน เมื่อ ตัด
                         ส่วนโค้งออกได้ยาวเท่ากัน

- วงกลม M= วงกลม N นั่นคือ
เหตุ : คอร์ด AB = คอร์ด CD
ผล : ส่วนโค้งAB = ส่วนโค้ง CD

- วงกลม E = วงกลม F นั่นคือ
เหตุ : ส่วนโค้ง XY = ส่วนโค้ง OS
ผล : คอร์ด XY = คอร์ด OS 

                                     14 คอร์ดสองเส้นที่อยู่ในวงกลมวงหนึ่ง จะยาวเท่ากัน เมื่อ ระยะทางจากจุด
                          ศูนย์กลางถึงคอร์ดสองเส้นนั้นยาวเท่ากัน 

                                 15 ส่วนของเส้นตรงที่ผ่านจุดศูนย์กลาง และตัดกับคอร์ดที่ไม่ใช่เส้นผ่าศูนย์
                      กลาง จะตั้งฉากกับคอร์ดนั้น ก็ต่อเมื่อ ส่วนของเส้นตรงนั้นแบ่งตนึ่งคอร์ด

- วงกลม O
เหตุ : OC ตั้งฉากกับ AB ที่จุด C
ผล : AC = CB

- วงกลม O
เหตุ : AC = CB
ผล : OC ตั้งฉากกับ = AB

                                   16 เส้นตรงที่แบ่งครึ่งและตั้งฉากกับคอร์ดของวงกลม จะผ่านจุดศูนย์กลาง
                       ของวงกลม

- วงกลม O
เหตุ : เส้นตรง MN แบ่งครึ่งและตั้งฉากกับ AB ที่จุด M
ผล : เส้นตรง MN ผ่านจุดศูนย์กลาง O

                                 17 มีวงกลมวงเดียวเท่านั้นที่ผ่านจุดสามจุดซึ่งไม่อยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกัน

เหตุ : A , B และ C เป็นจุดสามจุดที่ไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเดียว
กัน
ผล : จะมีวงกลมวงเดียวที่ผ่านจุด A , B และ C

                                   18 มุมในส่วนโค้งของวงกลมที่รองรับด้วยเส้นโค้งเดียวกัน จะมีขนาดเท่ากัน

เหตุ : มุม AEC , มุม ADC และ มุม ABC เป็นมุมในส่วน
ของวงกลม ที่รองรับด้วยส่วนโค้ง AC เดียวกัน
ผล : มุม AEC= มุม ADC= มุม ABC

 รูปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลม

                            19 ผลบวกของมุมตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมที่แนบในวงกลม ย่อมเท่ากับสองมุมฉาก

                           เหตุ : ABDC เป็นสี่เหลี่ยมแนบในวงกลม
ผล : มุม A + มุม D= 180° และ มุม B + มุม C= 180°

                          20 ถ้าต่อด้านใดด้านหนึ่งของรูปสี่เหลี่ยมที่แนบในวงกลมออกไป มุมภายนอกที่
               เกิดขึ้นจะเท่ากับมุมภายในที่อยู่ตรงข้าม

เหตุ : ABDC เป็นสี่เหลี่ยมแนบในวงกลม
ผล : มุม ADC= มุม CBE

                           21 รูปสี่เหลี่ยมที่แนบในวงกลม ผลบวกของด้านขนานของมุมตรงกันข้ามแต่ละคู่
                เท่ากับ 180° หรือสองมุมฉาก

จากรูป มุม ABC + มุม ADC = 180°
มุม BAD+ มุม BCD = 180°

    เส้นสัมผัสวงกลม

                        22 เส้นสัมผัสวงกลมย่อมตั้งฉากกับรัศมีที่จุดสัมผัส

เหตุ : OC เป็นรัศมีของวงกลม O พบกับเส้นสัมผัส AB ทีจุด C
ผล : OT คั้งฉากกับ AB

                      23 ส่วนของเส้นตรงที่ลากจากจุด ๆ หนึ่งภายนอกวงกลมมาสัมผัสวงกลมเดียวกันจะยาวเท่ากัน

เหตุ : MQ , NP ลากจากจุด M มาสัมผัสวงกลม O ที่จุด P และ Q
ผล : MP = MQ

                      24 มุมที่เกิดจากเส้นสัมผัสจรดปลายคอร์ด ย่อมเท่ากับมุมในส่วนของวงกลมตรงกันข้าม

เหตุ : CD,CE,CF เป็นคอร์ด ลากมาพบเส้นสัมผัส AB ที่จุด C
ผล : มุม BCD = มุม CED = มุม CFD