วงกลม (Circle) เมื่อให้จุด ๆ หนึ่งเคลื่อนที่ไปรอบ ๆ จุดคงที่จุดหนึ่ง
โดยจุดที่เคลื่อนที่และจุดคงที่นั้นมีระยะห่างเท่ากันเสมอ เส้นที่ได้จะเป็นเส้นโค้งเรียกว่าวงกลมหรือเส้นรอบวง
ถ้าลากเส้นตรงจากจุดใดจุดหนึ่งบนวงกลมให้ผ่านจุดศูนย์กลางไปพบวงกลมนั้นอีกข้างหนึ่ง
เราเรียกเส้นนั้นว่าเส้นผ่านศูนย์กลางดังนั้นเส้นผ่านศูนย์กลางมีความยาวเป็นสองเท่าของรัศมีของวงกลม
1.) จุด O เป็นจุดคงที่ เรียกจุด O ว่าจุดศูนย์กลางของวง
กลม
กลม
2.) จุด C , D , E เป็นจุดบนเส้นรอบวงของวงกลม เรียน
เส้นตรง OE , OD และ OC รัศมีของวงกลม
เส้นตรง OE , OD และ OC รัศมีของวงกลม
3.) จุด C และจุด D เป็นจุดที่อยู่บนวงกลม และเส้นตรง
CD ผ่านจุดศูนย์กลาง O เรียกเส้นตรง CD ว่า เส้น
ผ่านศูนย์กลาง
4). คอร์ด คือ เส้นตรงที่ลากจากเส้นรอบวงด้านหนึ่งไป
ยังเส้นรอบวงอีกด้านหนึ่ง คือ AB และคอร์ดที่ยาวที่
สุดคือเส้นผ่านศูนย์กลางและจะแบ่งวงกลมออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กัน
CD ผ่านจุดศูนย์กลาง O เรียกเส้นตรง CD ว่า เส้น
ผ่านศูนย์กลาง
4). คอร์ด คือ เส้นตรงที่ลากจากเส้นรอบวงด้านหนึ่งไป
ยังเส้นรอบวงอีกด้านหนึ่ง คือ AB และคอร์ดที่ยาวที่
สุดคือเส้นผ่านศูนย์กลางและจะแบ่งวงกลมออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กัน
5.) เซกเมนต์ คือ พื้นที่ที่อยู่ระหว่างเส้นรอบรูปกับคอร์ด
6.) ส่วนของเส้นตรง OX เรียกว่า ระยะที่คอร์ดห่าง
จากจุด ศูนย์ กลางของวงกลม
จากจุด ศูนย์ กลางของวงกลม
1 รัศมีวงกลมเดียวกันย่อมเท่ากัน
2 เส้นผ่าศูนย์กลางยาวเป็นสองเท่าของรัศมี
3 คอร์ดยาวที่สุดของวงกลม คือ เส้นผ่าศูนย์กลาง
4 วงกลม 2 วงสัมผัสกันได้ที่จุดเดียวกัน
5 วงกลม 2 วงตัดกันได้เพียง 2 จุดเท่านั้น คือจุด A และจุด B
6 เส้นผ่าศูนย์กลางของวงกลม จะแบ่งวงกลมออกเป็น 2 ส่วนเท่า ๆ กัน แต่ละส่วน
เรียกว่า " ครึ่งวงกลม"
เรียกว่า " ครึ่งวงกลม"
7 วงกลมขนาดเท่ากัน 3 วงตัดกัน โดยให้เส้นรอบวงกลมแต่ละวงผ่านจุดศูนย์กลาง
ของอีก 2 วง และ เมื่อต่อเชื่อมจุดตัดนั้นแล้ว จะเกิดรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า นั่น
คือสามเหลี่ยม ABC
8 วงกลม 2 วงมีจุดศูนย์กลางร่วมกัน แต่ความยาวของรัศมีไม่เท่ากัน จะเกิดวง
แหวนขึ้น
แหวนขึ้น
9 มุมในครึ่งวงกลมมีขนาดเท่ากับ 90 องศา หรือหนึ่งมุมฉาก นั่นคือมุม ACB = 90°
10 มุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลมจะมีขนาดเป็นสองเท่าของขนาดของมุมในส่วน
โค้งของวงกลมซึ่งรองรับด้วยส่วนโค้งเดียวกัน นั่นคือ มุม AOC เป็นสองเท่า
ของมุม ACB
โค้งของวงกลมซึ่งรองรับด้วยส่วนโค้งเดียวกัน นั่นคือ มุม AOC เป็นสองเท่า
ของมุม ACB
11 ในวงกลมที่เท่ากันหรือวงกลมเดียวกัน มุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลมมีขนาด
เท่ากัน เมื่อส่วนโค้งที่รองรับมุมที่จุดศูนย์กลางยาวเท่ากัน
- วงกลม o = วงกลม E นั่นคือ
เหตุ : มุม AOB = มุม CED
ผล : ส่วนโค้งAB = ส่วนโค้ง CD
- วงกลม O = วงกลม E นั่นคือ
เหตุ : ส่วนโค้ง AB = ส่วนโค้ง CD
ผล : มุม AOB = มุม CED
12 ในวงกลมที่เท่ากันหรือวงกลมเดียวกัน มุมที่ส่วนโค้งของวงกลมจะมีขนาดเท่า
กัน เมื่อ ส่วนโค้ง ที่รองรับยาวเท่ากัน
- วงกลม X = วงกลม Y นั่นคือ
เหตุ : มุม ACB = มุม MON
ผล : ส่วนโค้งAB = ส่วนโค้ง MN
- วงกลม X = วงกลม Y นั่นคือ
เหตุ : ส่วนโค้ง AB = ส่วนโค้ง MN
ผล : มุม ACB = มุม MON
13 ในวงกลมที่เท่ากันหรือวงกลมเดียวกัน คอร์ดสองเส้นจะยาวเท่ากัน เมื่อ ตัด
ส่วนโค้งออกได้ยาวเท่ากัน
- วงกลม M= วงกลม N นั่นคือ
เหตุ : คอร์ด AB = คอร์ด CD
ผล : ส่วนโค้งAB = ส่วนโค้ง CD
เหตุ : คอร์ด AB = คอร์ด CD
ผล : ส่วนโค้งAB = ส่วนโค้ง CD
- วงกลม E = วงกลม F นั่นคือ
เหตุ : ส่วนโค้ง XY = ส่วนโค้ง OS
ผล : คอร์ด XY = คอร์ด OS
เหตุ : ส่วนโค้ง XY = ส่วนโค้ง OS
ผล : คอร์ด XY = คอร์ด OS
14 คอร์ดสองเส้นที่อยู่ในวงกลมวงหนึ่ง จะยาวเท่ากัน เมื่อ ระยะทางจากจุด
ศูนย์กลางถึงคอร์ดสองเส้นนั้นยาวเท่ากัน
ศูนย์กลางถึงคอร์ดสองเส้นนั้นยาวเท่ากัน
15 ส่วนของเส้นตรงที่ผ่านจุดศูนย์กลาง และตัดกับคอร์ดที่ไม่ใช่เส้นผ่าศูนย์
กลาง จะตั้งฉากกับคอร์ดนั้น ก็ต่อเมื่อ ส่วนของเส้นตรงนั้นแบ่งตนึ่งคอร์ด
กลาง จะตั้งฉากกับคอร์ดนั้น ก็ต่อเมื่อ ส่วนของเส้นตรงนั้นแบ่งตนึ่งคอร์ด
- วงกลม O
เหตุ : OC ตั้งฉากกับ AB ที่จุด C
ผล : AC = CB
เหตุ : OC ตั้งฉากกับ AB ที่จุด C
ผล : AC = CB
- วงกลม O
เหตุ : AC = CB
ผล : OC ตั้งฉากกับ = AB
เหตุ : AC = CB
ผล : OC ตั้งฉากกับ = AB
16 เส้นตรงที่แบ่งครึ่งและตั้งฉากกับคอร์ดของวงกลม จะผ่านจุดศูนย์กลาง
ของวงกลม
ของวงกลม
- วงกลม O
เหตุ : เส้นตรง MN แบ่งครึ่งและตั้งฉากกับ AB ที่จุด M
ผล : เส้นตรง MN ผ่านจุดศูนย์กลาง O
เหตุ : เส้นตรง MN แบ่งครึ่งและตั้งฉากกับ AB ที่จุด M
ผล : เส้นตรง MN ผ่านจุดศูนย์กลาง O
17 มีวงกลมวงเดียวเท่านั้นที่ผ่านจุดสามจุดซึ่งไม่อยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกัน
เหตุ : A , B และ C เป็นจุดสามจุดที่ไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเดียว
กัน
ผล : จะมีวงกลมวงเดียวที่ผ่านจุด A , B และ C
กัน
ผล : จะมีวงกลมวงเดียวที่ผ่านจุด A , B และ C
18 มุมในส่วนโค้งของวงกลมที่รองรับด้วยเส้นโค้งเดียวกัน จะมีขนาดเท่ากัน
เหตุ : มุม AEC , มุม ADC และ มุม ABC เป็นมุมในส่วน
ของวงกลม ที่รองรับด้วยส่วนโค้ง AC เดียวกัน
ผล : มุม AEC= มุม ADC= มุม ABC
ของวงกลม ที่รองรับด้วยส่วนโค้ง AC เดียวกัน
ผล : มุม AEC= มุม ADC= มุม ABC
13 ในวงกลมที่เท่ากันหรือวงกลมเดียวกัน คอร์ดสองเส้นจะยาวเท่ากัน เมื่อ ตัด
ส่วนโค้งออกได้ยาวเท่ากัน
- วงกลม M= วงกลม N นั่นคือ
เหตุ : คอร์ด AB = คอร์ด CD
ผล : ส่วนโค้งAB = ส่วนโค้ง CD
เหตุ : คอร์ด AB = คอร์ด CD
ผล : ส่วนโค้งAB = ส่วนโค้ง CD
- วงกลม E = วงกลม F นั่นคือ
เหตุ : ส่วนโค้ง XY = ส่วนโค้ง OS
ผล : คอร์ด XY = คอร์ด OS
เหตุ : ส่วนโค้ง XY = ส่วนโค้ง OS
ผล : คอร์ด XY = คอร์ด OS
14 คอร์ดสองเส้นที่อยู่ในวงกลมวงหนึ่ง จะยาวเท่ากัน เมื่อ ระยะทางจากจุด
ศูนย์กลางถึงคอร์ดสองเส้นนั้นยาวเท่ากัน
ศูนย์กลางถึงคอร์ดสองเส้นนั้นยาวเท่ากัน
15 ส่วนของเส้นตรงที่ผ่านจุดศูนย์กลาง และตัดกับคอร์ดที่ไม่ใช่เส้นผ่าศูนย์
กลาง จะตั้งฉากกับคอร์ดนั้น ก็ต่อเมื่อ ส่วนของเส้นตรงนั้นแบ่งตนึ่งคอร์ด
กลาง จะตั้งฉากกับคอร์ดนั้น ก็ต่อเมื่อ ส่วนของเส้นตรงนั้นแบ่งตนึ่งคอร์ด
- วงกลม O
เหตุ : OC ตั้งฉากกับ AB ที่จุด C
ผล : AC = CB
เหตุ : OC ตั้งฉากกับ AB ที่จุด C
ผล : AC = CB
- วงกลม O
เหตุ : AC = CB
ผล : OC ตั้งฉากกับ = AB
เหตุ : AC = CB
ผล : OC ตั้งฉากกับ = AB
16 เส้นตรงที่แบ่งครึ่งและตั้งฉากกับคอร์ดของวงกลม จะผ่านจุดศูนย์กลาง
ของวงกลม
ของวงกลม
- วงกลม O
เหตุ : เส้นตรง MN แบ่งครึ่งและตั้งฉากกับ AB ที่จุด M
ผล : เส้นตรง MN ผ่านจุดศูนย์กลาง O
เหตุ : เส้นตรง MN แบ่งครึ่งและตั้งฉากกับ AB ที่จุด M
ผล : เส้นตรง MN ผ่านจุดศูนย์กลาง O
17 มีวงกลมวงเดียวเท่านั้นที่ผ่านจุดสามจุดซึ่งไม่อยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกัน
เหตุ : A , B และ C เป็นจุดสามจุดที่ไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเดียว
กัน
ผล : จะมีวงกลมวงเดียวที่ผ่านจุด A , B และ C
กัน
ผล : จะมีวงกลมวงเดียวที่ผ่านจุด A , B และ C
18 มุมในส่วนโค้งของวงกลมที่รองรับด้วยเส้นโค้งเดียวกัน จะมีขนาดเท่ากัน
เหตุ : มุม AEC , มุม ADC และ มุม ABC เป็นมุมในส่วน
ของวงกลม ที่รองรับด้วยส่วนโค้ง AC เดียวกัน
ผล : มุม AEC= มุม ADC= มุม ABC
ของวงกลม ที่รองรับด้วยส่วนโค้ง AC เดียวกัน
ผล : มุม AEC= มุม ADC= มุม ABC
รูปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลม
19 ผลบวกของมุมตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมที่แนบในวงกลม ย่อมเท่ากับสองมุมฉาก
เหตุ : ABDC เป็นสี่เหลี่ยมแนบในวงกลม
ผล : มุม A + มุม D= 180° และ มุม B + มุม C= 180°
ผล : มุม A + มุม D= 180° และ มุม B + มุม C= 180°
20 ถ้าต่อด้านใดด้านหนึ่งของรูปสี่เหลี่ยมที่แนบในวงกลมออกไป มุมภายนอกที่
เกิดขึ้นจะเท่ากับมุมภายในที่อยู่ตรงข้าม
เกิดขึ้นจะเท่ากับมุมภายในที่อยู่ตรงข้าม
เหตุ : ABDC เป็นสี่เหลี่ยมแนบในวงกลม
ผล : มุม ADC= มุม CBE
ผล : มุม ADC= มุม CBE
21 รูปสี่เหลี่ยมที่แนบในวงกลม ผลบวกของด้านขนานของมุมตรงกันข้ามแต่ละคู่
เท่ากับ 180° หรือสองมุมฉาก
เท่ากับ 180° หรือสองมุมฉาก
จากรูป มุม ABC + มุม ADC = 180°
มุม BAD+ มุม BCD = 180°
มุม BAD+ มุม BCD = 180°
เส้นสัมผัสวงกลม
22 เส้นสัมผัสวงกลมย่อมตั้งฉากกับรัศมีที่จุดสัมผัส
เหตุ : OC เป็นรัศมีของวงกลม O พบกับเส้นสัมผัส AB ทีจุด C
ผล : OT คั้งฉากกับ AB
ผล : OT คั้งฉากกับ AB
23 ส่วนของเส้นตรงที่ลากจากจุด ๆ หนึ่งภายนอกวงกลมมาสัมผัสวงกลมเดียวกันจะยาวเท่ากัน
เหตุ : MQ , NP ลากจากจุด M มาสัมผัสวงกลม O ที่จุด P และ Q
ผล : MP = MQ
ผล : MP = MQ
24 มุมที่เกิดจากเส้นสัมผัสจรดปลายคอร์ด ย่อมเท่ากับมุมในส่วนของวงกลมตรงกันข้าม
เหตุ : CD,CE,CF เป็นคอร์ด ลากมาพบเส้นสัมผัส AB ที่จุด C
ผล : มุม BCD = มุม CED = มุม CFD
ผล : มุม BCD = มุม CED = มุม CFD
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น