เซต

วงกลม

    

            

                  วงกลม (Circle) เมื่อให้จุด ๆ หนึ่งเคลื่อนที่ไปรอบ ๆ จุดคงที่จุดหนึ่ง

โดยจุดที่เคลื่อนที่และจุดคงที่นั้นมีระยะห่างเท่ากันเสมอ เส้นที่ได้จะเป็นเส้นโค้งเรียกว่าวงกลมหรือเส้นรอบวง

ถ้าลากเส้นตรงจากจุดใดจุดหนึ่งบนวงกลมให้ผ่านจุดศูนย์กลางไปพบวงกลมนั้นอีกข้างหนึ่ง

เราเรียกเส้นนั้นว่าเส้นผ่านศูนย์กลางดังนั้นเส้นผ่านศูนย์กลางมีความยาวเป็นสองเท่าของรัศมีของวงกลม

           1.)  จุด O เป็นจุดคงที่ เรียกจุด O ว่าจุดศูนย์กลางของวง
กลม

          2.)  จุด C , D , E เป็นจุดบนเส้นรอบวงของวงกลม เรียน
เส้นตรง OE , OD และ OC รัศมีของวงกลม

         3.)   จุด C และจุด D เป็นจุดที่อยู่บนวงกลม และเส้นตรง
CD ผ่านจุดศูนย์กลาง O เรียกเส้นตรง CD ว่า เส้น
ผ่านศูนย์กลาง

        4).   คอร์ด คือ เส้นตรงที่ลากจากเส้นรอบวงด้านหนึ่งไป
ยังเส้นรอบวงอีกด้านหนึ่ง คือ AB และคอร์ดที่ยาวที่
สุดคือเส้นผ่านศูนย์กลางและจะแบ่งวงกลมออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กัน

         5.)   เซกเมนต์ คือ พื้นที่ที่อยู่ระหว่างเส้นรอบรูปกับคอร์ด

6.)   ส่วนของเส้นตรง OX เรียกว่า ระยะที่คอร์ดห่าง
จากจุด ศูนย์ กลางของวงกลม

     

                    1 รัศมีวงกลมเดียวกันย่อมเท่ากัน

                     2 เส้นผ่าศูนย์กลางยาวเป็นสองเท่าของรัศมี

                    3 คอร์ดยาวที่สุดของวงกลม คือ เส้นผ่าศูนย์กลาง

                    4 วงกลม 2 วงสัมผัสกันได้ที่จุดเดียวกัน

                    5 วงกลม 2 วงตัดกันได้เพียง 2 จุดเท่านั้น คือจุด A และจุด B

                    6 เส้นผ่าศูนย์กลางของวงกลม จะแบ่งวงกลมออกเป็น 2 ส่วนเท่า ๆ กัน แต่ละส่วน
                       เรียกว่า " ครึ่งวงกลม"

                              7 วงกลมขนาดเท่ากัน 3 วงตัดกัน โดยให้เส้นรอบวงกลมแต่ละวงผ่านจุดศูนย์กลาง
        ของอีก 2 วง และ เมื่อต่อเชื่อมจุดตัดนั้นแล้ว จะเกิดรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า นั่น
        คือสามเหลี่ยม ABC

                           8 วงกลม 2 วงมีจุดศูนย์กลางร่วมกัน แต่ความยาวของรัศมีไม่เท่ากัน จะเกิดวง
        แหวนขึ้น

                          9 มุมในครึ่งวงกลมมีขนาดเท่ากับ 90 องศา หรือหนึ่งมุมฉาก นั่นคือมุม ACB = 90°

                          10 มุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลมจะมีขนาดเป็นสองเท่าของขนาดของมุมในส่วน
          โค้งของวงกลมซึ่งรองรับด้วยส่วนโค้งเดียวกัน นั่นคือ มุม AOC เป็นสองเท่า
          ของมุม ACB

                          11 ในวงกลมที่เท่ากันหรือวงกลมเดียวกัน มุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลมมีขนาด
          เท่ากัน เมื่อส่วนโค้งที่รองรับมุมที่จุดศูนย์กลางยาวเท่ากัน

- วงกลม o = วงกลม E นั่นคือ
เหตุ : มุม AOB = มุม CED
ผล : ส่วนโค้งAB = ส่วนโค้ง CD

- วงกลม O = วงกลม E นั่นคือ
เหตุ : ส่วนโค้ง AB = ส่วนโค้ง CD
ผล : มุม AOB = มุม CED
12 ในวงกลมที่เท่ากันหรือวงกลมเดียวกัน มุมที่ส่วนโค้งของวงกลมจะมีขนาดเท่า
กัน เมื่อ ส่วนโค้ง ที่รองรับยาวเท่ากัน

- วงกลม X = วงกลม Y นั่นคือ
เหตุ : มุม ACB = มุม MON
ผล : ส่วนโค้งAB = ส่วนโค้ง MN
- วงกลม X = วงกลม Y นั่นคือ
เหตุ : ส่วนโค้ง AB = ส่วนโค้ง MN
ผล : มุม ACB = มุม MON

                                    13 ในวงกลมที่เท่ากันหรือวงกลมเดียวกัน คอร์ดสองเส้นจะยาวเท่ากัน เมื่อ ตัด
                         ส่วนโค้งออกได้ยาวเท่ากัน

- วงกลม M= วงกลม N นั่นคือ
เหตุ : คอร์ด AB = คอร์ด CD
ผล : ส่วนโค้งAB = ส่วนโค้ง CD

- วงกลม E = วงกลม F นั่นคือ
เหตุ : ส่วนโค้ง XY = ส่วนโค้ง OS
ผล : คอร์ด XY = คอร์ด OS 

                                     14 คอร์ดสองเส้นที่อยู่ในวงกลมวงหนึ่ง จะยาวเท่ากัน เมื่อ ระยะทางจากจุด
                          ศูนย์กลางถึงคอร์ดสองเส้นนั้นยาวเท่ากัน 

                                 15 ส่วนของเส้นตรงที่ผ่านจุดศูนย์กลาง และตัดกับคอร์ดที่ไม่ใช่เส้นผ่าศูนย์
                      กลาง จะตั้งฉากกับคอร์ดนั้น ก็ต่อเมื่อ ส่วนของเส้นตรงนั้นแบ่งตนึ่งคอร์ด

- วงกลม O
เหตุ : OC ตั้งฉากกับ AB ที่จุด C
ผล : AC = CB

- วงกลม O
เหตุ : AC = CB
ผล : OC ตั้งฉากกับ = AB

                                   16 เส้นตรงที่แบ่งครึ่งและตั้งฉากกับคอร์ดของวงกลม จะผ่านจุดศูนย์กลาง
                       ของวงกลม

- วงกลม O
เหตุ : เส้นตรง MN แบ่งครึ่งและตั้งฉากกับ AB ที่จุด M
ผล : เส้นตรง MN ผ่านจุดศูนย์กลาง O

                                 17 มีวงกลมวงเดียวเท่านั้นที่ผ่านจุดสามจุดซึ่งไม่อยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกัน

เหตุ : A , B และ C เป็นจุดสามจุดที่ไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเดียว
กัน
ผล : จะมีวงกลมวงเดียวที่ผ่านจุด A , B และ C

                                   18 มุมในส่วนโค้งของวงกลมที่รองรับด้วยเส้นโค้งเดียวกัน จะมีขนาดเท่ากัน

เหตุ : มุม AEC , มุม ADC และ มุม ABC เป็นมุมในส่วน
ของวงกลม ที่รองรับด้วยส่วนโค้ง AC เดียวกัน
ผล : มุม AEC= มุม ADC= มุม ABC

                                    13 ในวงกลมที่เท่ากันหรือวงกลมเดียวกัน คอร์ดสองเส้นจะยาวเท่ากัน เมื่อ ตัด
                         ส่วนโค้งออกได้ยาวเท่ากัน

- วงกลม M= วงกลม N นั่นคือ
เหตุ : คอร์ด AB = คอร์ด CD
ผล : ส่วนโค้งAB = ส่วนโค้ง CD

- วงกลม E = วงกลม F นั่นคือ
เหตุ : ส่วนโค้ง XY = ส่วนโค้ง OS
ผล : คอร์ด XY = คอร์ด OS 

                                     14 คอร์ดสองเส้นที่อยู่ในวงกลมวงหนึ่ง จะยาวเท่ากัน เมื่อ ระยะทางจากจุด
                          ศูนย์กลางถึงคอร์ดสองเส้นนั้นยาวเท่ากัน 

                                 15 ส่วนของเส้นตรงที่ผ่านจุดศูนย์กลาง และตัดกับคอร์ดที่ไม่ใช่เส้นผ่าศูนย์
                      กลาง จะตั้งฉากกับคอร์ดนั้น ก็ต่อเมื่อ ส่วนของเส้นตรงนั้นแบ่งตนึ่งคอร์ด

- วงกลม O
เหตุ : OC ตั้งฉากกับ AB ที่จุด C
ผล : AC = CB

- วงกลม O
เหตุ : AC = CB
ผล : OC ตั้งฉากกับ = AB

                                   16 เส้นตรงที่แบ่งครึ่งและตั้งฉากกับคอร์ดของวงกลม จะผ่านจุดศูนย์กลาง
                       ของวงกลม

- วงกลม O
เหตุ : เส้นตรง MN แบ่งครึ่งและตั้งฉากกับ AB ที่จุด M
ผล : เส้นตรง MN ผ่านจุดศูนย์กลาง O

                                 17 มีวงกลมวงเดียวเท่านั้นที่ผ่านจุดสามจุดซึ่งไม่อยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกัน

เหตุ : A , B และ C เป็นจุดสามจุดที่ไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเดียว
กัน
ผล : จะมีวงกลมวงเดียวที่ผ่านจุด A , B และ C

                                   18 มุมในส่วนโค้งของวงกลมที่รองรับด้วยเส้นโค้งเดียวกัน จะมีขนาดเท่ากัน

เหตุ : มุม AEC , มุม ADC และ มุม ABC เป็นมุมในส่วน
ของวงกลม ที่รองรับด้วยส่วนโค้ง AC เดียวกัน
ผล : มุม AEC= มุม ADC= มุม ABC

 รูปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลม

                            19 ผลบวกของมุมตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมที่แนบในวงกลม ย่อมเท่ากับสองมุมฉาก

                           เหตุ : ABDC เป็นสี่เหลี่ยมแนบในวงกลม
ผล : มุม A + มุม D= 180° และ มุม B + มุม C= 180°

                          20 ถ้าต่อด้านใดด้านหนึ่งของรูปสี่เหลี่ยมที่แนบในวงกลมออกไป มุมภายนอกที่
               เกิดขึ้นจะเท่ากับมุมภายในที่อยู่ตรงข้าม

เหตุ : ABDC เป็นสี่เหลี่ยมแนบในวงกลม
ผล : มุม ADC= มุม CBE

                           21 รูปสี่เหลี่ยมที่แนบในวงกลม ผลบวกของด้านขนานของมุมตรงกันข้ามแต่ละคู่
                เท่ากับ 180° หรือสองมุมฉาก

จากรูป มุม ABC + มุม ADC = 180°
มุม BAD+ มุม BCD = 180°

    เส้นสัมผัสวงกลม

                        22 เส้นสัมผัสวงกลมย่อมตั้งฉากกับรัศมีที่จุดสัมผัส

เหตุ : OC เป็นรัศมีของวงกลม O พบกับเส้นสัมผัส AB ทีจุด C
ผล : OT คั้งฉากกับ AB

                      23 ส่วนของเส้นตรงที่ลากจากจุด ๆ หนึ่งภายนอกวงกลมมาสัมผัสวงกลมเดียวกันจะยาวเท่ากัน

เหตุ : MQ , NP ลากจากจุด M มาสัมผัสวงกลม O ที่จุด P และ Q
ผล : MP = MQ

                      24 มุมที่เกิดจากเส้นสัมผัสจรดปลายคอร์ด ย่อมเท่ากับมุมในส่วนของวงกลมตรงกันข้าม

เหตุ : CD,CE,CF เป็นคอร์ด ลากมาพบเส้นสัมผัส AB ที่จุด C
ผล : มุม BCD = มุม CED = มุม CFD

การ บวก ลบ คูณ ทศนิยม

1. การบวกทศนิยม

การบวกทศนิยมใช้วิธีตั้งหลักและจุดทศนิยมให้ตรงกัน แล้วบวกตัวเลขที่อยู่ในหลักเดียวกัน ถ้าผลบวกได้เกิน 9 ให้ทศไปยังหลักข้างหน้าเหมือนการบวกจำนวนนับ

ตัวอย่าง 42.36 + 23.86 = ?

วิธีทำ

คุณสมบัติสลับที่ของการบวก เช่น 5.3 + 4.6 = 4.6 + 5.3 = 9.9

คุณสมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการบวก เช่น

( 0.14+0.83)+0.13 = 0.14 + (0.83 + 0.13) = 1.10
2. การลบทศนิยม

 

การลบทศนิยมใช้วิธีตั้งหลักและจุดทศนิยมให้ตรงกัน แล้วลบจำนวนที่อยู่ในหลักเดียวกัน ถ้าตัวตั้งน้อยกว่าตัวลบให้กระจายหลักข้างหน้ามาเหมือนกับจำนวนนับ

ตัวอย่าง 4.35 - 2.19 = ?

วิธีทำ

3. การคูณทศนิยม

1. การหาผลคูณโดยใช้การบวก เช่น 2 x 3.5 = 3.5 + 3.5 = 7.0

2. การหาผลคูณโดยการเปลี่ยนทศนิยมให้เป็นเศษส่วน เช่น

 

3. การหาผลคูณโดยวิธีลัด ให้คูณเหมือนการคูณจำนวนนับด้วยจำนวนนับ และผลคูณจะมีตำแหน่งทศนิยมเท่ากับทศนิยมที่โจทย์กำหนดให้ เช่น 3x0.7 = 2.1 หรือ 4 x2.17 = 8.68 เป็นต้น

การ บวก ลบ คูณ หาร เศษส่วน

1. การบวกลบเศษส่วน

1.1 เศษส่วนชนิดเดียวกัน ให้เอาเศษมาบวกลบกันได้เลย ส่วนส่วนมีค่าคงเดิม

1.2 เศษส่วนที่มีส่วนไม่เท่ากัน ทำเศษส่วนให้เป็นเศษส่วนชนิดเดียวกันก่อน แล้วจึงนำเศษส่วนมาบวกลบกันเหมือนวิธี 1.2
2. การแปลงเศษส่วน

การแปลงเศษส่วน หมายถึง การเปลี่ยนแปลงเศษส่วนจากชนิดหนึ่งไปเป็นเศษส่วนอีกชนิอหนึ่ง โดยที่ค่าเศษส่วนชุดเดิมนั้นไม่เปลี่ยนแปลงเช่นเศษส่วนเกินเป็นเศษส่วนคละหรือการแปลงเศษส่วนคละให้เป็นเศษ ส่วนเกิน เป็นต้น
ตัวอย่าง จงแปลง 5/3 เป็นเศษส่วนจำนวนคละ
วิธีทำ
3. การขยายเศษส่วน

การขยายเศษส่วน เป็นการแปลงเศษส่วนอีกลักษณะหนึ่ง โดยให้จำนวนเลขที่เป็น เศษส่วนมีจำนวนมากกว่าเดิม แต่ค่าของเศษส่วนชุดเดิมไม่เปลี่ยนแปลง เช่น
4. การทอนเศษส่วน

การทอนเศษส่วน คือ การแปลงเศษส่วนที่ทำให้ตัวเลขทั้งเศษและส่วนน้อยลง โดยค่าของเศษส่วนนั้นไม่เปลี่ยนแปลง

5.การคูณเศษส่วน

5.1 จำนวนเต็มคูณเศษส่วน หมายถึง การบวกเศษส่วนที่มีค่าเท่าๆกันหลายๆค่า เช่น

5.2 เศษส่วนคูณจำนวนเต็ม หมายถึง เศษส่วนของจำนวนเต็มเช่น หมายถึง 1/2 ของ 3

5.3เศษส่วนคูณเศษส่วนหมายถึงการแบ่งเศษส่วนออกเป็นส่วนเท่าๆกันว่ามีค่าเป็นเศษส่วนเท่าไรของทั้งหมดเช่น

6. การหารเศษส่วน

6.1 การหารจำนวนเต็มด้วยเศษส่วน หมายถึง การแบ่งจำนวนเต็มออก เป็นส่วนย่อยเท่าๆกันจะได้กี่ส่วน

6.2 การหารเศษส่วนด้วนจำนวนเต็ม หมายถึง การแบ่งเศษส่วนที่มีอยู่ออกเป็นส่วนเท่าๆกัน

6.3 การหารเศษส่วนด้วนเศษส่วน หมายถึง การแบ่งเศษส่วนออกเป็นส่วนเท่าๆกัน หาคำตอบได้จากการคูณเศษส่วนที่เป็นตัวตั้งกับส่วนกลับของเศษส่วนที่เป็นตัวหารเช่น
ข้อควรจำ

การทำโจทย์ที่มีการบวก ลบ คูณ หาระคนกัน ให้ทำตามลำดับขั้นตอนดังนี้

1. ตัวเลขที่อยู่ในเครื่องหมายวงเล็บต้องทำก่อนอย่างอื่น

2. คำว่า " ของ" หมายถึงการคูณ

3. คูณ หาร ทำพร้อมกันได้

4. บวกลบทำพร้อมกันได้

5. ต้องทำคูณหารก่อนบวกลบเสมอ

สมบัติของรูปสี่เหลี่ยม

1. รูปสี่เหลี่ยม (quadrilateral)

รูปสี่เหลี่ยม (quadrilateral)คือ รูประนาบที่ล้อมรอบด้วยเส้นตรง 4 เส้น หรือ 4 ด้าน ทำให้เกิดมุม 4 มุม
2. รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก (rectangle)

รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก (rectangle) คือ รูปสี่เหลี่ยมที่มีมุมทุกมุมเป็นมุมฉาก หรือเรียกอีกชื่อหนึ่งว่าสี่เหลี่ยมผืนผ้า

คุณสมบัติ

1. มีด้านตรงข้ามยาวเท่ากัน

2. มีมุมทุกมุมกาง 90 องศา

3. เส้นทแยงมุมยาวเท่ากัน แต่ไม่ตั้งฉากซึ่งกันและกัน

4. เส้นทแยงมุมแบ่งครึ่งซึ่งกันและกัน
3. รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส(square)

รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส(square) คือ รูปสี่เหลี่ยมที่มีทุกมุมเป็นมุมฉากและมีด้านทั้งสี่ ยาวเท่ากัน

คุณสมบัติ

1. มีด้านทุกด้านยาวเท่ากัน

2. มีมุมทุกมุมกาง 90 องศา

3. เส้นทแยงมุมยาวเท่ากัน

4. เส้นทแยงมุมแบ่งครึ่งซึ่งกันและกันและตัดกันเป็นมุมฉาก
4. รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน (parallelogram)

รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน (parallelogram) คือ รูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านตรงข้ามขนาน กันและยาวเท่ากัน

คุณสมบัติ

1. มีด้านตรงข้ามยาวเท่ากันและขนานกัน

2. เส้นทแยงมุมไม่เท่ากันแต่แบ่งครึ่งซึ่งกัน

3. มีมุมตรงข้ามกางเท่ากัน
5. สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน(rhombus)

สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน(rhombus) คือ รูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านทั้งสี่ยาวเท่ากัน มุมแต่ละมุมไม่เป็นมุมฉาก

คุณสมบัติ

1. มีด้านยาวเท่ากันและด้านตรงข้ามขนาน

2. เส้นทะแยงมุมยาวไม่เท่ากัน แต่แบ่งครึ่งซึ่งกันและกันและตัดกันเป็นมุมฉาก

3. มุมตรงข้ามกางเท่ากัน
6. รูปสี่เหลี่นมคางหมู(trapezoid)

รูปสี่เหลี่นมคางหมู(trapezoid) คือ รูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านคู่หนึ่งขนานกัน

คุณสมบัติ

1. มีด้านขนานกัน 1 คู่

2. เส้นทะแยงมุมตัดกันแต่ไม่แบ่งครึ่งซึ่งกันและกัน
7. รูปสี่เหลี่ยมรูปว่าว

รูปสี่เหลี่ยมรูปว่าว คือ รูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านเท่ากัน สองคู่

คุณสมบัติ

1. มีด้านประชิดยาวเท่ากัน

2. ส้นทแยงมุมยาวไม่เท่ากันแต่ตัดกันเป็นมุมฉาก

3. เส้นทแยงมุมเส้นหนึ่ง แบ่งครึ่งเส้นทแยงมุมอีกเส้นหนึ่ง

ข้อสังเกต : สี่เหลี่ยมรูปว่าว ประกอบด้วยสามเหลี่ยมหน้าจั่ว 2 รูปที่มีฐานร่วมกัน
8. สี่เหลี่ยมด้านไม่เท่า

สี่เหลี่ยมด้านไม่เท่า คือ สี่เหลี่ยมที่มีด้านทุกด้านยาวไม่เท่ากัน มุมทุกมุมกางไม่เท่ากัน